9.3.1. Нечеткие множества

То знание, которое использует эксперт при оценке признаков или симптомов, обычно базируется скорее на отношениях между классами данных и классами гипотез, чем на отношениях между отдельными данными и конкретными гипотезами. Большинство методик .решения проблем в той или иной форме включает классификацию данных (сигналов, симптомов и т.п.), которые рассматриваются как конкретные представители некоторых более общих категорий. Редко когда эти более общие категории могут быть четко очерчены. Конкретный объект может обладать частью характерных признаков определенной категории, а частью не обладать, принадлежность конкретного объекта к определенному классу может быть размыта. Предложенная Заде [Zadeh, 1965] теория нечетких множеств (fuzzy set theory) представляет собой формализм, предназначенный для формирования суждений о таких категориях и принадлежащих к ним объектах. Эта теория лежит в основе нечеткой логики (fuzzy logic) [Zadeh, 1975] и теории возможностей (possibility theory) [Zadeh, 1978].

Классическая теория множеств базируется на двузначной логике. Выражения в форме а & А, где а представляет индивидуальный объект, а А — множество подобных объектов, могут принимать только значение "истина" либо "ложь". После появления понятия "нечеткое множество" прежние классические множества иногда стали называть жесткими. Жесткость классической теории множеств стала источником ряда проблем при попытке применить ее к нечетко определенным категориям.

Рассмотрим категорию, определенную словом "быстрый" (fast). Если применить это определение к автомобилям, то какой автомобиль можно считать быстрым? В классической теории мы можем определить множество А "быстрых автомобилей" либо перечислением (составив список всех членов множества), либо введя в рассмотрение некоторую характеристическую функцию f такую, что для любого объекта X

f(X) = истина тогда и только тогда, когда Х принадлежит А.

Например, эта функция может отбирать только те автомобили, которые имеют скорость более 150 миль в час:

GT150(X)={ истина,если CAR(X) и TOP_SPEED(X) > 150 ложь в противном случае

Множество, определенное такой характеристической функцией, представляется формулой

{Х ~ CAR TOP-SPEED(X)> 150}.

Эта формула утверждает, что элементами нового множества являются те элементы множества CAR, которые имеют максимальную скорость свыше 150 миль в час.

А что можно сказать о множестве (категории) "быстрых" автомобилей? Интуитивно кажется, что ситуация сходна с представленной на рис. 9.2, где границы множества размыты и принадлежность элементов множеству может быть каким-то образом ранжирована. В таком случае можно говорить о том, что отдельный объект (автомобиль) более или менее типичен для этого множества (категории). Можно с помощью некоторой функции/охарактеризовать степень принадлежности объектов X такому множеству. Функция /(X) определена на интервале [0,1]. Если для объекта X функция f(X) = 1, то объект определенно является членом множества, если ДА) = 0, то объект определенно не является членом множества. Все промежуточные значения означают степень членства объекта X в этом множестве. В примере с автомобилями нам понадобится функция, оперирующая с максимальной скоростью каждого претендента на членство. Можно определить ее таким образом, что f_FAST(80) = 0, f_FAST(180) = 1, а промежуточные значения представляются некоторой монотонной гистограммой, имеющей значения в интервале между нулем и единицей. Тогда множество "быстрых автомобилей" может быть охарактеризовано функцией

f_{FAST CAR}(X) =f_FAST(TOP-SPEED(X)),

которая определена на множестве всех автомобилей. Таким образом, членами множества становятся пары (объект, степень), например:

FAST-CAR = {(Porche-944, 0.9),

(BMW-316, 0.5), (Chevy-Nova, 0.1)}.

Рис. 9.2. Нечеткое множество "быстрых" автомобилей